Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Dichtefunktion der stetigen Gleichverteilung

Nehmen wir an, Sie gehen für eine dringende Angelegenheit ohne Termin zu einer Behörde. Die Wartezeit ist vollkommen unvorhersehbar, Ihnen wurde allerdings garantiert, dass die Wartezeit zwischen 10 und 60 Minuten ist. Somit ist die einzige Annahme, die wir treffen können, dass jede Wartezeit zwischen 10 und 60 Minuten gleich wahrscheinlich ist. Dabei ist die Wartezeit als stetige Zufallsvariable anzusehen: es kann sich um genau 23 Minuten handeln, aber es könnte sich auch um 43 Minuten, 14 Sekunden und 5 Millisekunden usw. handeln.

Wie sieht nun die Dichtefunktion \(f(x)\) einer solchen stetigen Gleichverteilung aus? Jede Wartezeit \(x\) ist gleich wahrscheinlich, d.h. für jedes \(x\) muss \(f(x)\) den gleichen Wert \(f(x) = c\) liefern und somit ergibt sich eine horizontale Linie auf Höhe von \(c\):

Um \(c\) zu bestimmen, können wir uns zwei Fakten zu Hilfe nehmen: Erstens bildet \(f(x)\) wie wir oben sehen ein Rechteck und zwar mit einer Höhe von \(c\) und einer Breite von \(60-10 = 50\) Minuten. Zweitens muss die Gesamtfläche unter der Dichtefunktion \(f(x)\) immer 1 ergeben. Über die Fläche des Rechtecks ergibt sich \(c \cdot 50 = 1\) und somit \(c = \frac 1 {50}\). Die gesuchte Dichtefunktion für eine Gleichverteilung im Intervall von 10 bis 60 Minuten ist also \(f(x) = \frac 1 {50}\) für \(x \in [10, 60]\), andernfalls ist \(f(x) = 0\).

Mit Hilfe der Dichtefunktion ist es nun auch möglich, dass wir Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Intervalle \([a, b]\) ausrechnen, also \(P(a \le X \le b)\) bestimmen können. Die interaktive Grafik unten zeigt wie das geht: Die Fläche unter der Dichtefunktion \(f(x)\) im Intervall \([a, b]\) bildet wieder ein Rechteck mit den Seitenlängen \(b-a\) und \(f(x)\), in unserem Fall \(f(x) = \frac 1 {50}\).

Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen haben eine Besonderheit: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable \(X\) exakt einen bestimmten Wert \(x\) (bspw. genau 10 Minuten wie in der vorherigen Aufgabe) annimmt, ist immer null, also \(P(X=x) = 0\). Um \(P(X=x)\) zu berechnen, ist das gefragte Intervall \([x, x]\) und somit ist die Länge des Intervalls null. Auf die Gleichverteilung übertragen bedeutet das, dass die Breite des Rechtecks unter der Dichtefunktion null ist und somit ist auch die Fläche, ergo die Wahrscheinlichkeitsdichte, null.

Eine andere Erklärung ist, dass es unendlich und nicht abzählbar viele Werte gibt, die \(X\) annehmen könnte. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, genau einen davon zu treffen unendlich klein. Paradoxerweise bedeutet das bei einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung allerdings nicht, dass es unmöglich ist, exakt \(x\) “zu treffen”, sondern es ist nur extrem unwahrscheinlich.

Daraus, dass bei stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen gilt, dass \(P(X=x) = 0\), folgt \(P(X \le x) = P(X < x)\) und \(P(X \ge x) = P(X > x)\). Es ist also egal, ob wir die Wahrscheinlichkeit von \(X\) in einem Intervall kleiner gleich \(x\) oder kleiner \(x\) betrachten. Bei diskreten Warscheinlichkeitsverteilungen macht es hingegen im allgemeinen einen Unterschied!

In der Praxis bedeutet das, dass es bei stetigen Zufallsvariablen nur Sinn macht, Wahrscheinlichkeiten innerhalb von bestimmten Intervallen zu berechnen, also \(P(a < X < b)\). So macht es bspw. in der obigen Aufgabe eher Sinn nach der Wahrscheinlichkeit zu fragen, zwischen 10 und 11 Minuten warten zu müssen.

Verteilungsfunktion der stetigen Gleichverteilung

Wie jede Wahrscheinlichkeitsverteilung hat auch die stetige Gleichverteilung eine Verteilungsfunktion \(F(x)\), die die Wahrscheinlichkeit \(P(X < x)\) für einen Grenzwert \(x\) bestimmt. Wir können uns dabei wieder das Rechteck zu Hilfe nehmen, welches unter der Dichtefunktion bis zum Grenzwert \(x\) gebildet wird:

Das Prinzip, dass wir \(P(X < x)\) mit Hilfe der Fläche unter der Dichtefunktion berechnen können, lässt sich für jede stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung anwenden. Das werden wir uns im nächsten Kapitel zu nutze machen, wenn es um die wohl wichtigste (stetige) Wahrscheinlichkeitsverteilung geht – die Normalverteilung.

Einführung

Mit der Normalverteilung lernen Sie die wichtigste stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung kennen. Sie findet in der Praxis oft Anwendung, da viele Daten in der Natur oder in technischen Bereichen einer Normalverteilung folgen.

Ist eine Zufallsvariable \(X\) normalverteilt, so schreibt man

\[ X \sim \mathcal{N(\mu, \sigma)}. \]

Dabei ist \(X\) normalverteilt um den Erwartungswert \(\mu\) mit einer Standardabweichung \(\sigma\). Die Dichtefunktion der Normalverteilung zeigt die charakteristische “Glockenkurve.” Sie ist symmetrisch um den Erwartungswert \(\mu\) und die Streuung wird durch die Standardabweichung \(\sigma\) bestimmt:

Wir werden im folgenden die Normalverteilung nutzen, um Wahrscheinlichkeiten dafür zu berechnen, dass eine normalverteilte Zufallsvariable Werte in einem bestimmten Bereich annimmt.

Ein Praxisbeispiel – Liefert das Routenberechnungssystem gute Routen?

In Ihrer Firma wurde ein Routenberechnungssystem entwickelt. Ihre Kollegin hat sich die Länge der generierten Routen angeschaut und diese verglichen mit den Längen der Routen eines Routenberechnungssystems einer Konkurrenzfirma. Die Daten sehen in etwa wie folgt aus:

Sie teilt Ihnen folgende Informationen mit: Die Differenz zur kürzesten Route des konkurrierenden Kartendienstes scheint normalverteilt zu sein, leider weiß sie aber nicht mit welchem Erwartungswert und welcher Standardabweichung. Ihre Kollegin zeigt Ihnen folgendes Histogramm aus den Daten, die sie berechnet hat:

Dichtefunktion der Normalverteilung

Sie möchten folgendes wissen: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Routenberechnungssystem Ihrer Firma eine Route generiert, die kürzer ist, als die der Konkurrenzfirma? Da negative Differenzen in der Routenlänge bedeuten, dass ihr Routenberechnungssystem eine kürzere Route als die Konkurrenz liefert, können wir diese Wahrscheinlichkeit notieren als \(P(X < 0 \text{ km})\). Dabei fassen wir \(X\) als normalverteilte Zufallsvariable auf. Allerdings kennen wir deren Erwartungswert und Standardabweichung nicht. Wir können diese aber aus den Daten Ihrer Kollegin berechnen.

c(mean(abweichung), sd(abweichung))

Verteilungsfunktion der Normalverteilung

Wir haben also herausgefunden, dass die Differenz der Routenlängen zum Konkurrenzdienst in etwa normalverteilt ist mit Erwartungswert \(\mu = 20\text{ km}\) und Standardabweichung \(\sigma = 30\text{ km}\). Das können wir jetzt nutzen, um die Frage zu beantworten, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass unser Routenberechnungssystem bessere (also kürzere) Routen liefert, als die Konkurrenz. Wir suchen also \(P(X < 0 \text{ km})\). Wie schon bei der stetigen Gleichverteilung können wir bei solchen Fragestellungen auf die Verteilungsfunktion zurückgreifen. Diese gibt uns die Wahrscheinlichkeitsdichte \(P(X < x)\) bis zu einem Wert \(x\), also im Intervall \((-\infty, x)\), als Fläche unter der Kurve der Dichtefunktion \(f(x)\) der Normalverteilung. Folgende interaktive Grafik zeigt das Prinzip:

Was ist nun, wenn wir die Wahrscheinlichkeit bestimmen wollen, dass \(X\) Werte in einem Intervall von \(a\) bis \(b\) animmt, also \(P(a < X < b)\)? Das lässt sich erklären, indem wir uns die Flächen unter der Kurve der Dichtefunktion für \(P(X < a)\) und \(P(X < b)\) anschauen:

Wir möchten jetzt herausfinden, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass das Routenberechnungssystem Routen liefert, deren Längen maximal 10 km von der des Konkurrenzsystems abweichen. Das bedeutet, wir suchen \(P(-10 \text{ km} < X < 10 \text{ km})\). Folgende interaktive Grafik zeigt, wie sich diese Wahrscheinlichkeit berechnen lässt:

mu <- 79.2
sigma <- 24.1

___

mu <- 79.2
sigma <- 24.1

1 - pnorm(100, mu, sigma) + pnorm(50, mu, sigma)

Zusammenfassung

Sie haben mit der Normalverteilung die wohl wichtigste stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung kennengelernt und wissen jetzt, wie man Sie praktisch einsetzen kann. Insbesondere ist der Umgang mit der Verteilungsfunktion \(F(x)\) wichtig, denn hiermit können Sie die Wahrscheinlichkeit \(P(X < x)\) für eine normalverteilte Zufallsvariable \(X\) bestimmen. Anschaulich gemacht wurde das durch die Fläche unter der Dichtefunktion \(f(x)\) von \(-\infty\) bis zum Grenzwert \(x\). Wir haben festgestellt, dass über die Gegenwahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit \(P(X > x)\) mittels \(P(X > x) = 1 - F(x)\) bestimmt werden kann. Des weiteren kann die Wahrscheinlichkeit für \(X\) innerhalb eines Intervalls \((a, b)\) bestimmt werden, indem wir die Fläche, und damit die Wahrscheinlichkeit, für den unteren Grenzwert \(a\) abziehen von der Fläche für den oberen Grenzwert \(b\), also \(P(a < X < b) = F(b) - F(a)\).

Schließlich haben Sie noch den Umgang mit der Quantilfunktion der Normalverteilung kennengelernt. Hier Fragen wir nicht nach einer Wahrscheinlichkeit, sondern umgekehrt nach einem Grenzwert \(x\), für den eine bestimmte Wahrscheinlichkeit \(p\) erreicht wird, also ein \(x\) für \(P(X < x) = p\).

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